11. august 2008

Matematikkuke 4.dag

Vi skal nå over på fotballtabeller.

I en tabell kommer først navnet på laget. Deretter antall kamper laget har spilt, antall kamper laget har vunnet, antall kamper laget har spilt uavgjort, og antall kamper laget har tapt. Disse tallene står hver for seg med bare mellomrom imellom. SÅ kommer to tall med en strek imellom, det første er antall mål laget har scoret, og det andre er antall mål laget har sluppet inn. Til slutt kommer poengene. I moderne fotballtabeller skal det være 3 poeng for seier, ett poeng for uavgjort og null for tap, dette gjelder hvis ikke annet er nevnt.

Tabellen er rangert i rekkefølge med det beste laget øverst. Den rangeres etter hvem som har mest poeng. Hvis to lag har like mange poeng ser man på målforskjellen i noen turneringer, og på hvordan det gikk i kampen(e) mellom disse lagene i andre. Men glem nå det.

Det er en del 'selvfølgelige' ting du kan vite om en tabell. Noen går på radene og er lette å oppdage:
- Summen av antall kamper vunnet, uavgjort og tapt må tilsvare antall kamper spilt.
- Poengene må tilsvare tre ganger antall kamper vunnet pluss antall kamper uavgjort.
Noen går på kolonnene gjennom hele tabellen:
- Totalsummen av antall mål scoret er lik antall mål sluppet inn
- Totalsummen av antall kamper vunnet er lik antall kamper tapt
- Totalsummen av noen kolonner må gi partall. En av disse kolonnene er den første, antall spilte kamper. Fordi når et lag har spilt en kamp har også et annet lag på tabellen spilt den samme kampen, altså øker totalsummen antall spilte kamper med to hver gang en kamp spilles. På samme måte øker også totalsummen av antall mål i tabellen med to for hver scoring.

Norges kvalifiseringsgruppe til VM 1998 så slik ut:

Norge 8 6 2 0 21-2 20
Ungarn 8 3 3 2 10-8 12
Finland 8 3 2 3 11-12 11
Sveits 8 3 1 4 11-12 10
Aserbajdsjan 8 ? ? ? ?-? ?

Den siste linjen er enten:

A: Aserbajdsjan 8 1 0 4 5-24 3

B: Aserbajdsjan 8 1 0 7 3-22 3

C: Aserbajdsjan 8 2 2 4 3-21 4

D: Aserbajdsjan 8 1 0 7 3-21 3

E: Aserbajdsjan 8 1 1 6 5-24 4

Oppgave: Hvilken er riktig? For full score bør svarene begrunnes med hvorfor hver enkelt av de andre må være feil.
Bonusspørsmål: Hvordan ser du ut fra tabellen hvor mange poeng Norge fikk med seg fra bortekampen i Aserbajdsjan?

Max poeng: 8
Det er et par ekstrapoeng å hente til den som sier navnet på en matematiker som forbindes med en sekvens matematikkuken benytter seg av.

----

Fasiten fra forrige oppgave er at damene må ha hatt seg med hhv. minimum 2,3 og 7 menn. Jeg antar at kommentarene er slengt med en viss humoristisk tone. Og beklager til Tølper for å ha nøret opp under mytene om promiskøsiteten og fylla i matematikermiljøet. For å balansere kan jeg opplyse at jeg i et kvart år hadde hybel rett over 'kjelleren' til Nabla, som er den sosiale organisasjonen til mattestudentene ved NTNU. Det er i denne kjelleren studentene er ment å feste hjernen sin ut. Jeg sov utmerket hver eneste natt.

Når vi er ferdig med de flate etappene og skal inn i Alpene er feltet fortsatt godt samlet:

Beamer 10
Birgit 10
Sander 10
Sonja 10
Truls 10
Titta 9
Tor 9
Tølper 9
Paul Erdös 8
Prinsesse Lea 8
Trine 5
Tilfeldig Forbipasserende 5
Erasmus 5
Marco Scopoloni 5
Grønn Mann 5
Guri 4
Laila 4
BZA 4
Frank 3
Iversen 3
Kristin 3
Ljarl 3
Magnus 3
Mona 3
Petter Johan 3
Plysjhai 3
Sigurd 2
Resten 0

22 kommentarer:

Sonja Dadam sa...

Alternativ A utelukkes med en gang, da summen av vunnet, tapte og uavgjorte kamper bare blir 1+0+4=5 kamper - og det er totalt 8 kamper spilt.

Summen av antall kamper de andre lagene har vunnet er 15, totalt antall tapte kamper er 9. Differansen er 6, slik at Aserbajdsjan må ha tapt seks flere kamper enn de vant, for å få det totale antall kamper vunnet lik det totale antall kamper tapt. Altså enten vunnet 0, uavgjort 2, tapt 6, vunnet 1, uavgjort 0, tapt 7. Dette utelukker alternativ C og E.

Over til målforskjellene. Totalt antall skårte mål for de fire andre lagene er 53, mens totalt antall sluppet inn er 34. Differansen her er 19. Aserbajdsjan må altså ha sluppet inn 19 flere mål enn de skårte, noe som eliminerer alternativ D, hvor differansen er på 18 mål.

Vi står igjen med alternativ B: Aserbajdsjan 8 1 0 7 3-22 3 som det eneste mulige alternativet.

Siden Norge ikke har noen tap, og Aserbajdsjan ikke har noen uavgjorte, må Norge ha vunnet bortekampen mot med (og forsåvidt hjemmekampen) og tatt med seg 3 poeng.

Truls sa...

A: Feil.
--------
Sum V-U-T for hele tabellen blir 16-8-13.
Feil fordi det er flere seire enn tap.

B: Rett.
--------
Sum V-U-T blir 16-8-16. OK. Like mange seire som tap.
Sum målforskjell blir 56-56. OK. Like mange scorede som innslupne mål.

C: Feil.
--------
Avsløres lett ved at fordelingen 2-2-4 ville gitt 8 poeng, og ikke 4 poeng.

D: Feil.
--------
Sum målforskjell blir 56-55. Flere scorede enn innslupne.

E: Feil.
--------
Sum V-U-T blir 16-9-15.
Både feil fordi antall uavgjorte ikke er et partall, og fordi det er flere seire enn tap.


Bonusspørsmål:
--------------
Aserbajdsjan har ingen uavgjorte kamper, og Norge har ingen tap. Altså må Norge ha slått Aserbajdsjan i begge kampene, inkludert bortekampen.

plysjhai sa...

Linje B er riktig svar.

Linje A stemmer ikke. 4 tapte kamper, null uavgjort og en vunnet gir ikke åtte kamper.

Linje C har et mål sluppet inn for lite, pluss at summering av poeng stemmer ikke. 2 vunnet gir 6 poeng, 2 uavgjort gir 2 poeng, som samlet gir 8 poeng, ikke 4 som det står.

Linje D har riktig antall kamper spilt, og poeng, men et for lite mål sluppet inn.

Linje E ser tilsynelatende riktig ut, men resultatet av kampene stemmer ikke da de ikke kunne ha noen uavgjorte kamper i følge tabellen.

Derfor stemmer linje B. Aserbajdsjan vant en kamp, som ga 3 poeng, og tapte syv. De måtte ha scoret oddetalls-antall (3) og sluppet inn partalls-antall (22) for at regnestykket skulle gå opp.

Ut fra tabellen ser man også at Norge har fått med seg 3 poeng, siden Aserbajdsjan ikke har noen uavgjortkamper, og Norge ikke har tapt noen.
(Jeg greide å tenke veldig feil først og trodde jeg skulle finne ut hvor mange mål Norge hadde scoret i kampen mot Aserbajdjan, så ble veldig glad da jeg greide å koble riktig. ;) )

Sigurd sa...

De andre lagene har tilsammen 15 seiere og 9 uavgjort, dermed må Ase ha 6 flere tap enn seiere. (Differansen mellom 15 og 9) [Dette ekskluderer alt. A som har 3, alt. C som har 2 og alt. E som har 5]

Det står dermed mellom alt. B og D, som har ett mål innsluppet som forskjell mellom hverandre.

Siden det er skåret 53 mål og sluppet inn 34 mål hos de andre lagene, må Ase ha en differanse på 19 mål i skåret-innsluppet. Dette har alternativ B, og ikke alternativ D.

Svaret blir dermed Alt. B
8 1 0 7 3-22 3

Bonus:

Norge tapte ingen kamper og Aserbajdsjan spilte ingen uavgjorte. Dermed må Norge ha vunnet begge kampene mot Ase, noe som tilsier at også bortekampen må ha vært vunnet.

Magnus sa...

34 (sum innslupne uten aserbajdsjan) - 53 (sum scorte uten aserbajdsjan) = -19

Aserbajdsjan har en negativ målforskjell på -19
Utelukker altså alternativ C og D (målforskjell -18)
Utelukker alternativ A (1 seier, 0 uavgjort og 4 tap = 5 kamper, tilsvarer ikke totalsummen antall kamper (8)).

15 seire totalt (uten aserbajdsjan). 9 tap totalt (uten aserbajdsjan). 6 tap "mangler", men aserbajdsjan har 1 seier på de gjenværende alternativer så da "mangler" det 7 tap. Ergo: alternativ B.

Svar på bonusspørsmål: Aserbajdsjan har ingen uavgjortkamper, og Norge har ingen tap. Ergo: Norge fikk med seg 3 poeng fra bortekampen i Aserbajdsjan.


Easy etter 10 timer nattevakt :D

Buster sa...

Ah, those were the days my friend.

Iversen sa...

Typisk. Planen min var å bare delta en gang, fordi matematikk er døllt. Du måtte selvsagt involvere fotball, som ikke er døllt. Bør døllt egentlig skrives med en l, kanskje? Uansett, om jeg får tid skal jeg titte på denne og. Men ikke tro at jeg er happy, Eskil!

Tilfeldig forbipasserende sa...

Ordet fotball er noemalt nok til å få meg i fullkommen ignoreringsmodus, men jeg gjorde et forsøk på å fokusere på tallene, og kom til at disse utgår: A (mindre enn 8 kamper), C (misforhold mellom poeng og kamper), D (misforhold mellom totalt antall mål inn/ut) og E (misforhold mellom totalt antall kamper vunnet/tapt). Fokuset mitt strakte seg dessverre ikke så langt som til bonusspørsmålet.

Grønn Mann sa...

Grunnet ferie (knis) har jeg ikke sett dette strålende tilbudet før nå. Derfor stiller jeg med 10 poengs handicap, men kaster meg likefullt med i moroa.

Svaret er alternativ B

Alternativ A utgår fordi summen av kamper vunnet, tapte og uavgjorte er mindre enn antall spilte kamper

Alternativ C utgår fordi 2 kamper vunnet og 2 kamper uavgjort skal gi 8 poeng - ikke 4 som det står her

Alternativ D utgår fordi antall scorete mål ikke stemmer overens med antall innslupne mål for hele tabellen.

Alternativ E utgår fordi det ikke blir like mange kamper tapt som kamper vunnet i hele tabellen

Bonusspm: Norge fikk med seg 3 poeng hjem fra Aserbajdsjan. Norge tapte ingen kamper i løpet av hele kvalifiseringen. Aserbajdsjan fikk alle sine tre poeng fra én seier. Denne kunne ikke ha mot Norge siden Norge aldri tapte noen kamp. Dermed fikk Norge tre poeng i begge sine kamper mot aserbajdsjan.

Trine sa...

Når jeg nå først har brukt en halvtime av arbeidstiden min på dette her får jeg vel kanskje skrive inn svaret også. Det får da være grenser for kommentarvegring!

Jeg startet med å se på målforskjellen. 53 mål scoret og 34 sluppet inn. Altså, for at dette skal gå opp må Aserbajdsjan ha en målforskjell på 53-34 = 19!
Dette eliminerer alternativ C og D som begge har målforskjell på 18.

Hvis vi så tar for oss forskjellen på ant. kamper vunnet (15) og ant. kamper tapt (9) til de andre lagene ser vi at Aserbajdsjan må ha en kampforskjell på 15-9 = 6!
Dette gjør at alternativ A (kampforskjell 3) og E (kampforskjell 5) ryker.

Dermed endte jeg opp med at alternativ B må være det riktige linjen i tabellen.

Bonus: Fra tabellen ser vi at Norge har 6 seiere, 2 uavgjort og 0 tap. Aserbajdsjan har 1 seier, 0 uavgjort og 7 tap. Så, siden Norge ikke har tapt noen kamper kan Aserbajdsjans seier ikke ha kommet mot Norge, og siden Aserbajdsjan ikke har noen uavgjorte kamper kan dette heller ikke ha blitt resultatet mot Norge. Ergo må Norge ha slått Aserbajdsjan både på hjemme- og bortebane, og har altså tatt med seg 3 poeng fra bortekampen i Aserbajdsjan.

Nå håper jeg virkelig at dette stemmer for jeg føler meg ekstremt lur som tror jeg har fått det til.

Sander sa...

De 4 øverste lagene har til sammen 6 flere seire enn tap. Aserbajdsjan må derfor ha 6 flere tap enn seire. Slik faller både A, C og E. Man kan dessuten felle A på feil sum av seire, uavgjort og tap, og C på feil poengsum.
De 4 øverste lagene har en samlet målforskjell på +19. Derfor faller også D, i tillegg til C som allerede er ute.

B er riktig.

Norge har ingen tap, og Aserbajdsjan har ingen uavgjort. Dermed må Norge ha tatt 3 poeng borte (som hjemme) fra Aserbajdsjan.

Tølper sa...

Ajaj... jeg hadde en pinlig feil sist, som jeg ikke innså før jeg satt på en buss i retning ingenmannsland, uten den minste internettforbindelse. Fra nå av får jeg satse på å beholde den delte sjetteplassen istedenfor å gå for seier.

Altså, siden NUFS tilsammen har vunnet 15 kamper og tapt 9, må Aserbajdsjan ha tapt minst 6; altså går A og C ut. Tilsvarende, siden NUFS har skåret 53 mål og sluppet inn 34, må Aserbajdsjan ha -19 i målforskjell; det utelukker C. Til slutt må summen av uavgjorte kamper være et partall, som utelukker E. Derfor må B være det riktige svaret. Og siden Aserbajdsjan ikke har spilt noen kamper uavgjort, og Norge ikke har tapt noen, må Norge ha vunnet begge kampene mot Aserbajdsjan, deriblant bortekampen.

Til sist må jeg si at det gleder meg veldig at det går bedre med deg nå om dagen. Gratulerer!

Tor sa...

Som du nevnte i teksten må antall tap og seiere være like. Hvis vi ikke tar med Aserbajdsjan sine score er det 15 seiere og 9 tap. Det betyr at Aserbasjan må ha 6 (15 - 9) flere tap en seiere. Sorry, Aserbajdsjan. Av de forslåtte stillingene er det bare 1 0 7 som har seks flere tap enn seiere. Dermed utelukkes A, C og E. Og alternativene er B: Aserbajdsjan 8 1 0 7 3-22 3 og D: Aserbajdsjan 8 1 0 7 3-21 3. Som du nevner må også antall mål som er scoret og sluppet inne være likt. Når vi ikke tar med Aserbajdsjan er det scoret 53 mål og sluppet inn 34. For at det skal bli likt når Aserbajdsjan regnes med må derfor Aserbajdsjan ha sluppet inn 19 flere mål enn de har scoret (53 – 34). Dette stemmer overens med alternativ B (22-9 = 19), men ikke med alternativ D (21 – 9 = 18).

beamer sa...

Hvor lang er dag fire i Mattematikkuka? Dvs: når går svarfristen ut på denne oppgava?

Tror jeg har sett svarene, men å formulere setninger tar lenger tid for mitt hode i dag ;-)

Paul Erdős sa...

A ryker på kun 1+0+4=5 kamper spilt.

C ryker på feil målforskjell; Ungarn, Finland og Sveits går i 0, så Aserbajdsjan må ha Norges +19 med negativt fortegn. Dessuten er det ikke mulig med 2-2-4 (som man også får mer enn 4 poeng for.) da vi må ha like mange seire som tap totalt. (Det er rimelig greit å se at A. må ha 0-2-6 eller 1-0-7.)

D har kun 18 minusmål for A..

E har et odde antall uavgjorte når vi krever like.

B blir altså eneste mulighet. Hvis vi veit dette, må vi ha at Norge vant eller spilte uavgjort i kampene mot A. og A. vant eller tapte mot Norge, da må Norge ha vunnet begge disse kampene. Uten opplysninga om at B er korrekt, trur jeg ikke det er mulig å avgjøre om Norge vant eller det blei uavgjort.

Har du fått det ned i færre enn 12 lag?

Birgit sa...

Oj. Fotball. Hups.
OK, jeg er sent ute, men here goes:

A er feil fordi en kamp vunnnet, null uavgjort og fire tap ikke blir åtte kamper spilt.

C er feil fordi poengsummen ville blitt 8, ikke 4.

D er feil fordi antall scorte mål ikke blir lik antall mål sluppet inn. (56 mot 55)

E er feil fordi antall uavgjort blir et oddetall, 9. Hvis et lag spiller uavgjort må laget de spiller mot også få uavgjort.

B er riktig.

Truls sa...

Jeg har akkurat oppdaget den hvite teksten i oppgaven, og kan fortelle at matematikeren er italienske Leonardo Fibonacci.

beach sa...

Går for alternativ B her!

Iversen sa...

Fibonacci, forresten.

Marco Scopoloni sa...

Fra kolonnene med målforskjell ser man lett at Aserbajdsjan har sluppet inn 19 mål mer enn de har scoret. Dermed ryker alternativ C og D.

Av kolonnene med seire og tap ser man at A. må ha tapt 6 kamper mer enn de har vunnet. Dermed ryket også alternativene A og E.

Alternativ B er riktig.

beamer sa...

Jeg tror at alternativ B er riktig.

Forklaringen blir forhåpentlig forståelig på tross av at den blir usammenhengende pga ett tåkehode som ikke helt er klar for oppgaver flere dager på rad. (Konkurranseinstinktet lenge leve - her henger vi på så lenge det står til liv!)

Det kom jeg frem til ved å tenke følgende:
Total målforskjell, 53-34, gir en målforskjell på 19 mål. Dermed må Aserbajdsjan ha sluppet inn 19 flere mål enn de har scoret for at totaltabellen skal gå opp. Målforskjellen går ikke opp ved å bruke alternativ C og D, og disse utgår dermed.

Seier-uavgjort-tap: Alternativ A elimineres raskt her fordi det ifølge seier-uavgjort-tap-tabellen kun totalt 5 kamper, ikke 8 slik det skal være.

De andre lagene har totalt 15 seiere og 9 tap. Dermed ”mangler” tabellen minimum 6 tap, noe jeg finner igjen i alternativ B og D, mens alternativ A og C kan igjen utelukkes. Det samme kan nå også alternativ E. Siden D allerede er eliminert, så står jeg nå igjen kun med alternativ B.

Jeg har nå eliminert alle alternativer unntatt B. Jeg dobbeltsjekker ved å se at når jeg setter inn 1-0-7 i tabellen over seier-uavgjort-tap, så får jeg totalt 16-8-16 som blir 40 kamper, noe som stemmer med antall kamper spilt. Om jeg hadde brukt rekkene i alternativ A, hadde dette tallet blitt for lavt i forhold til spilte kamper. Om jeg hadde brukt alternativ E, hadde antall seiere og antall tap ikke vært det samme tallet.

Poengene på C og E stemmer ikke i forhold til totalt antall poenger som må ha vært utdelt.


Bonusspørsmål:
Aserbajdsjan har kun en seier og ingen uavgjort. Siden Norge ikke har noen tap, så må Norge ha vunnet begge kampene mot Aserbajdsjan, også bortekampen. Dvs 3 poeng.

Sander sa...

En liten kommentar til Fibonacci: Jeg oppdaget etter hvert den matematiske sammenheng mellom poengsummene, men siden de første tallene i Fibonaccis tallfølge var utelatt (1,1) synes jeg det var litt på kanten å foreslå det, spesielt før jeg ble gjort oppmerksom på den skjulte teksten.