14. august 2008

Matematikkuken 7.dag

I et forsøk på å skille teten tar vi den hardeste etappen til slutt.

Denne gruppen blir trukket i Champions League 2011.

Chelsea
CSKA Moskva
Rosenborg
Benfica

Lagene skal møtes både hjemme og borte. De to beste lagene går videre til cup-fasen.

Disse fire lagene kan i 2011 anses for helt jevngode. Alle har 50% sjanse til å gå videre før spillet starter.

A: En riking, la oss kalle ham Roman, eier både CSKA Moskva og Chelsea. I et forsøk på å unngå korrupsjon åpner derfor gruppen med disse to kampene
Chelsea-CSKA
CSKA-Chelsea

Du vet at Roman ønsker at begge lagene skal øke sjansen sin til over 50% etter disse kampene. Og det greier han. Kamp en er spilt, du har som oppgave å tippe utfallet i kamp to, CSKA-Chelsea. Hva tipper du?

For oppgave B og C skal vi til en tabell i en annen verdensdel. Tabellen endte slik, alle har møtt hverandre to ganger:

Bermuda 6 4 0 2 7 - 4 12
Bahamas 6 4 0 2 6 - 3 12
Grenada 6 3 0 3 3 - 5 9
St Lucia 6 1 0 5 3 - 7 3

Det som skiller lag med like mange poeng er først målforskjell, deretter antall scorede mål, deretter innbyrdes oppgjør.

En tilleggsopplysning følger med. Og dette er basert på en sann historie.

I denne karibiske turneringen var det ikke "lov" å spille uavgjort. Kamper som endte uavgjort, skulle avgjøres på straffespark. Og straffesparkene talte med i målforskjellen.

Mot slutten av turneringens siste oppgjør, mellom St Lucia og Bermuda, trykket Bermuda hardt på for å score. De hadde på dette tidspunktet dårligere målforskjell enn Bahamas, og lå an til andreplass i turneringen. Plutselig, da kampen gikk på overtid, sluttet Bermuda å angripe. De sendte istedet ballen ned i eget forsvar, og rullet den kaldt inn i eget mål. Som du ser, vant Bermuda turneringen.

B: Hvordan er det mulig?
C: Hva ble resultatet i den ene kampen som St. Lucia vant?

Max poeng: 34

-----

Fasit forrige oppgave: Galatasaray har fire uavgjorte, og siden summen av uavgjortkolonnen er 8 må tyrkerne ha deltatt i alle uavgjortkampene i gruppa, inkludert Rosenborgs to. Rosenborg har bare sluppet inn to mål, og de må ha kommet i de to tapene, altså har de ikke sluppet inn mål i uavgjortkampene, og da er resultatene i kampene mot Galatasaray 0-0. Som betyr at Ivers ikke scoret noen mål.

Resultatlisten: I teorien kan alle på denne siden av Iversen fortsatt vinne sammenlagt. I praksis er det en hardkokt gjeng i teten nå og tøft å ta seg opp i toppen. Jeg må få lov å si meg imponert over nivået. Truls tåler nok ikke noen feilskjær hvis dette skal holde inn.

Truls 54
Beamer 52
Sander 52
Sonja 52
Tølper 51
Paul Erdös 51
Grønn Mann 47
Trine 47
Plysjhai 45
Sigurd 44
Tilfeldig Forbipasserende 44
Marco Scopoloni 44
Tor 35
Birgit 28
Magnus 24
Iversen 17
Beach 16
Gunhild 13
Titta 9
Prinsesse Lea 8
Petter Johan 5
Erasmus 5
Guri 4
Laila 4
BZA 4
Frank 3
Kristin 3
Ljarl 3
Mona 3
Resten 0

21 kommentarer:

Iversen sa...

Iversen, det er han som skiller klinten fra hveten! Neste gang skal jeg delta alle dagene så jeg kan være med på hvetefesten.

Tilfeldig forbipasserende sa...

Matematikkukens 7. dag er dessverre en litt hektisk dag, så jeg må nok spasere vider med uløste oppgaver bak meg. Men det var artig så lenge det varte!

Grønn Mann sa...

Denne oppgaven var ikke for spurver: here goes

a) CSKA og Chelsea vinner en kamp hver. I det andre oppgjøret vil jeg dermed tippe at det laget som tapte det første oppgjøret vinner. Dette er fordi:

sannsynligheten for hjemmeseier = a
---------"--------- uavgjort = b
--------"---------- borteseier =c

Da har vi nødvendigvis at a+b+c =1

Forventningsverdien av "poenghøsten" for et rettferdig "dobbeltoppgjør" med en hjemmekamp og en bortekamp er dermed (3a+1b + 0c) + (0a+1b+3c)=
(3a+2b+3c). Dette er nødvendigvis en lavere verdi enn de 3 poengene man får ved å avtale at hvert lag vinner en kamp hver.

b) Bermuda leder 1-0 over St Lucia og har da en samlet målforskjell 6-3. Grunnet innbyrdes oppgjør vinner Bahamas over Bermuda ved poenglikhet, lik målforskjell og like mange scorete mål. Bermuda vil da komme på andre plass hvis 1-0 resultatet står ved kampslutt. Siden ingen kamper kan ende uavgjort velger Bermuda derfor å sette ballen i eget mål og tvinger dermed frem en avgjørelse på straffespark. Såfremt de vinner straffesparkavgjørelsen (mot et åpenbart dårligere lag) vinner de både kampen - fortsatt med ett måls margin men de vinner da også turneringen med flere scorete målsiden straffespark teller med i målforskjellen. Hvis de taper strafesparkkonkurransen havner de fortsatt på andreplass i turneringen siden de uansett har bedre målforskjell enn Grenada. De har altså intet å tape, men alt å vinne på å trille ballen i eget mål på denne stillingen.

C) St Lucia vant med 2-0 i den ene kampen de vant. I et kombinatorisk mareritt av en oppstilling ser man lett at Grenada må ha vunnet sine 3 kamper med 1-0 i hver kamp. Pga få innslupne mål har de også tapt minst en kamp med 0-1.
Bahamas har så få scorete mål at de må ha vunnet minst to av sine kamper med 1-0. Bahamas har også sluppet inn kun 3 mål på to tapte kamper, noe som gir at et av tapene er et 0-1 tap. Videre forusetter jeg at svaret fra oppgave B er riktig og at Bermuda vant 2-1 over St Lucia. Da ser man at St Lucia må ha tapt minst 3 kamper kamper med 0-1 og at Bermuda må ha vunnet minst 1 kamp med 1-0. Likeledes er det nå klart at Bermuda har så få innslupne mål at en av de to tapene deres er et 0-1 tap. Med disse resultatene ser vi at St Lucia har en "uavklart" målforskjell på 2-2 som skal fordele seg på en seier og ett tap. Den eneste måten å fordele denne målforskjellen slik at tabellen stemmer blir da et 0-2 tap til St Lucia og en 2-0 seier til St Lucia.

St Lucia vant dermed med 2-0 i sin eneste seier i turneringen

Takk for en strålende matematikkuke. Neste gang satser jeg på å være med fra begynnelsen.

Sigurd sa...

A. Det er en viss sjans for at enhver kamp ender uavgjort, og i en kamp som ender uavgjort blir det delt ut færre poeng enn i en seier.
Jeg tror at begge kampene ender med seier til bortelaget. Men for å øke sjansen for å gå videre litt mer så blir det skårt mange mål i kampene. Dermed, hvis lagene havner på like mange poeng og like bra målforskjell, vil lagene gå videre på flest skårte mål. Lagene vil da stå marginalt bedre stilt til å gå videre, siden alle lagene er like gode.

Jeg tror kampen ender 3-4.

B.
I en straffesparkkonkurranse er det en relativ høy sannsynlighet for å slippe inn mål. Derfor tror jeg en av to ting skjedde:

Enten var kampen uavgjort da den gikk til overtid. For å unngå det sjansespillet en straffekonk. er, der de f. eks. kunne ha tapt 4-2, valgte Bermuda å tape med bare ett mål, de hadde kalkulert at de fortsatt gikk videre på det resultatet. Dette er kynisme, men ikke egentlig en matteoppgave.

Den andre muligheten, som er litt mer sannsynlig, siden Bermuda presset så hardt er den omvendte situasjonen. Bermudas målforskjell kan ha vært 5-2 og Bermuda ledet med 1-0 mot St. Lucia. Med denne målforskjellen ville de ha vært på andreplass på færre skårte mål.
De skårte selvmålet for å få en straffekonk. Om de hadde tapt med 3 mål (som er det meste man kan tape en straffekonk. med nåværende reglement) ville fremdeles ikke Grenada ha tatt de igjen på tabellen. (Ikke med 5 mål heller.)

Men ved å vinne med 2-1 på straffekonk ville de ha tatt 1.plassen i gruppa på flere skårte mål. Dette klarte de.

C.
Dersom sluttresultatet ble som i sistnevnte alternativ (3-2) så ville bare St. Lucia ha skårt ett annet mål i serien. De må dermed ha vunnet 1-0.

Esquil sa...

Litt tilleggsinfo ble nettopp lagt til i teksten:

Det som skiller lag med like mange poeng er først målforskjell, deretter antall scorede mål, deretter innbyrdes oppgjør

og det er lagt til en bisetning om at bermuda lå bak på målforskjell da de scoret selvmålet, ikke antall scorende mål.

oppgaven var uansett løsbar, men dette gjør oppgaven noe lettere å løse.

Marco Scopoloni sa...

A:
Roman vil maksimalisere antall poeng til lagene sine og unngår derfor uavgjort. For at ikke noen av lagene skal bli akterutseilt må de vinne en kamp hver og score og slippe inn like mange mål. Det er en fordel at oppgjørene blir målrike, i tilfelle gruppa blir så jevn at lag må skilles på antall scorede mål.

Dersom resultatet i første kamp ble m - n ville jeg satt pengene mine i andre kamp på et resultat a - b som oppfyller a minus m = b minus n = 0.

B:
Bermuda innser at de får problemer med å score det avgjørende målet før kampen blåses av. De skjønner imidlertid at de har sjansen til å bedre målforskjellen sin i en straffesparkkonkurranse. Fra å lede med ett mål lager de et selvmål, vinner straffesparkkonkurransen med to mål og stikker av med turneringseieren.

C:
St.Lucia vant 2-0.

For at Bermuda skulle kunne lede med ett mål før straffekonkurransen og forbedre målforskjellen sin i straffekonkurransen må de ha vunnet denne med minst to mål. Det betyr at de må ha scoret minst tre mål i siste kamp inkl. straffekonk.

Målforskjellen til St. Lucia avslører at de ikke kan ha sluppet inn mer enn maks 3 mål i siste kamp.
Bermuda scoret altså tre mål i siste kamp. Det betyr at de hadde scoret fem mål før straffesparkkonkuransen startet. For at de skulle kunne ligge etter Bahamas på målforskjellen og ikke (ikke først og fremst) antall scorede mål må de på det tidspunktet ha sluppet inn totalt tre mål i hele turneringen. Resultatet i siste kamp ble dermed 3-1 til Bermuda.

Med dette resultatet er det bare en måte St. Lucia kan ha fått sin målforskjell ut fra antall seire og tap, nemlig hvis de vant en av kampene 2-0.

Sonja Dadam sa...

(jeg blir litt underveis når jeg svarer på denne oppgaven. Kjære Esquil, ikke ta det personlig, det er bare sånn jeg blir når jeg ikke får til ting)

Oppgave A: Dersom begge kampene spilles uavgjort, vil begge lagene ha 2 poeng hver etter spilte kamper. Dersom Chelsea vinner en kamp og CSKA vinner den andre, så ender begge lagene med 3 poeng. Dersom et lag vinner begge kampene vil dette laget få seks poeng, og det andre ingen, så det er bare tull (tilsvarende for at de spiller en kamp uuavgjort, og en kamp der det ene laget vinner). Jeg mener å tro at borteseier (eller bortemål) teller mer enn hjemmeseier, derfor tror jeg at Chelsea vinner den andre kampen 3-0. (dette fordi CSKA har vunnet den første kampen 3-0. Jeg går ut i fra at hele greia er gjennomkorrupt, men at de ikke vil at noen skal fatte mistanke. Mange mål skåret er bra; bedre enn mange mål sluppet inn er dårlig. 3 mål er at dette er det høyeste antall mål man kan skåre i en kamp uten at det virker mistenkelig.) (Jeg har fått forklart at ordet ”utfallet” muligens indikerer at jeg bare skal tippe på hvem som vinner, og ikke om hvor mange mål som skåres. Dustete fotballsjargong!)

Vi kan se at grunnen til at Bermuda ligger øverst på tabellen, er at de har skåret flere mål enn Bahamas. Jeg vet at det står at St Lucia og Bermudakampen var den siste, men den eneste grunnen jeg kan se til at en slik situasjon, der et lag plutselig ombestemmer seg hvorvidt de trenger et mål mot seg istedenfor for seg, kan oppstå er at det skjedde noe som endret forutsetningene for at de skulle vinne. Jeg tror derfor at Bahamas spilte mot Grenada samtidig med Bermuda-St Lucia evt kanskje at de startet noen minutter før Bermuda-St Lucia.

Og nå har jeg så mange hvis og om, og jeg ser at oppgaveteksten er blitt endret, og jeg begynner å bli sulten og aggressiv, så jeg tror bare jeg må gi meg med at jeg tror dette går på at Bermuda ledet med et mål, og trengte å vinne kampen med to for å vinne tabellen. Så skårer Bahamas enda et mål i den andre kampen (som jeg har diktet opp), slik at Bermuda må skåre to mål for å vinne. Dette innser de at de ikke klarer på den korte tiden de har til rådighet. Da går de heller for et selvmål, slik at kampen ender uavgjort, og satser på at de knuser St Lucia i straffesparkkonkurransen, en ting de kan gjøre, da St Lucia har vist seg å gjøre det rævva så langt i turneringen

( En annen ting som kan ha hendt er at keeperen til St Lucia blir utvist/alvorlig skadet, slik Bermuda skjønner de vil gjøre det bra under en straffekonk )

Så til oppgave C.
Man må sikkert vite hva som skjedde i sistekampen for å løse dette her. Det gjør jo ikke jeg, så da er det bare å gjette. Bermuda hadde fra før vunnet 3 kamper, da forsvinner minst 3 av målene de har skårt (fordi hver kamp må vinnes minst 1-0), tilsvarende vil de 2 kampene de har tapt svare for 2 av baklengsmålene. Vi kan derfor anta at den siste kampen endte 4-2, noe som høres rimelig ut i og med at der var en straffekonk (hvor det andre laget etter all sannsynligvis bare hadde en skarve reservekeeper i mål). Dersom St Lucia tapte den siste kampen sin 2-4, har de 1-3 igjen i målforskjell på de 5 første kampene - et vinn og 4 tap. Det mangler altså minst et mål, som bare vil si at Bermuda vant den siste kampen 3-2 istedenfor (og da vunnet en av de andre kampene 2-0 –det er plausibelt). Altså St Lucia tapte den siste kampen 2-3, noe som går dem en målforskjell på de øvrige kampene på 1-4, slik at de vant den kampen de vant 1-0.

Dette henger ikke helt på greip, jeg vet, men de eneste tre alternativene der finnes er at de vant 1-0,2-0 eller 2-1, da de fikk minst et mål mot Bermuda (Bermudas selvmål), og jeg håper virkelig de klarte å skåre et mål under straffesparkkonkurransen, for det må da være grenser for hvor elendig et lag kan være.

Ellers fant jeg ut:

1. Grenada har vunnet tre kamper, og skåret 3 mål , de må altså ha vunnet de tre kampene sine 1-0

Truls sa...

A
____
Dersom det kåres en vinner i en kamp, deles det ut 3 poeng.
Dersom det blir uavgjort, deles det ut 2 poeng.

Oppgaven går på sannsynligheter. Sannsynligheten for at en vilkårlig kamp ender uavgjort, er større enn 0. Sannsynligheten for at den

blir avgjort, er også større enn 0. Dette betyr at forventet utdelt poeng per kamp ligger et sted mellom 2 og 3.

Klarer man å få 3 eller flere poeng på to kamper, har man økt sannsynligheten sin til å gå videre, fordi man ligger over antall

forventede poeng per kamp.
Klarer man å få 2 eller færre poeng på to kamper, har man redusert sannsynligheten sin til å gå videre, fordi man ligger under antall

forventede poeng per kamp.

I oppgaveteksten står det at begge langene økte sin sannsynlighet. Det betyr at de begge har 3 eller flere poeng etter to kamper.

Dette er bare mulig dersom de har vunnet hver sin kamp.

Jeg ville derfor tippet på seier til det laget som ikke vant den første kampen.

Hadde jeg vært Roman, hadde jeg også fått lagene til å score så mange mål som mulig, for ytterligere å øke sannsynligheten for å gå

videre. Kan være kjekt å ha mange mål dersom det blir likt både på poeng og målforskjell. Antall mål begrenses bare av hvor mye Roman

tror de kan score uten å bli mistenkt for juks.

Oppgaven sier ikke noe om hvorvidt Roman ønsket at lagene skulle ha likt utgangspunkt. Derfor blir det vanskelig å tippe eksakt

målforskjell. Så lenge de vinner hver sin kamp er oppgaven utført.


B
_____
Jaja, Esquil. Jeg så på denne oppgaven i morges, og fant alternative svar. Men rakk ikke å skrive noe før jeg måtte dra på jobb.

Nå ser jeg at du har endret oppgaveteksten, og dermed eliminert den mest opplagte løsningen (Den mest opplagte løsningen ville i det

tilfellet vært at de lå bak på antall scorede mål, og ledet kampen med ett mål. Ett baklengs ville da bety straffekonk og muligheten

til å øke antall mål slik at de kunne passere Bahamas på antall mål etter å ha vunnet straffekonken med ett mål).

Med de nye betingelsene er det den andre løsningen som gjelder. Den endrede oppgaveteksten nærmest legger dette i hendene på oss, og

det er jo litt synd. Men jeg hadde den altså allerede i morges. Så det så ;)

Vi kan tenke oss at gruppen hadde hatt disse kampene:

Grenada-St.Lucia 1-0
St.Lucia-Grenada 0-1
Bahamas-St.Lucia 1-0
St.Lucia-Bahamas 0-1
Bermuda-Bahamas 2-0
Bahamas-Bermuda 1-0
Bermuda-Grenada 1-0
Grenada-Bermuda 0-1
Bahamas-Grenada 3-0
Grenada-Bahamas 1-0
St.Lucia-Bermuda 2-0

... og at tabellen derfor så slik ut før siste kamp:

Bahamas 6 4 0 2 6 - 3 12
Bermuda 5 3 0 2 4 - 3 9
Grenada 6 3 0 3 3 - 5 9
St Lucia 5 1 0 4 2 - 4 3

Bermuda ledet med ett mål, og hadde dermed 5-3 i målforskjell.
Dersom de hadde scoret ett mål til, og vunnet 2-0, ville de ha stått likt med Bahamas både i målforskjell og antall scorede mål. Men

de hadde gått foran på innbyrdes oppgjør og vunnet turneringen.

Jo nærmere man kommer slutten av kampen, desto mindre sannsynlighet er det for å score i de gjenværende minuttene / sekundene. Ved

ett punkt er det mer sannsynlig å vinne med to mål i en straffekonk enn å score et ekstra mål i den gjenværende tiden. Da er det på

tide for Bermuda å score et selvmål, slik at det blir 1-1 etter spilletidens slutt, og det skal skytes straffer.

Til alt hell vinner Bermuda straffekonken med 2-0, slik at kampens resultat blir 3-1. Den endelige tabellen blir da, som beskrevet i

oppgaveteksten:

Bermuda 6 4 0 2 7 - 4 12
Bahamas 6 4 0 2 6 - 3 12
Grenada 6 3 0 3 3 - 5 9
St Lucia 6 1 0 5 3 - 7 3


Som en kuriositet, kan jeg legge til at flere resultatforløp kunne ført til denne tabellen. Et annet resultatforløp ville være dette:

Grenada-St.Lucia 1-0
St.Lucia-Grenada 0-1
Bahamas-St.Lucia 1-0
St.Lucia-Bahamas 0-1
Bermuda-Bahamas 2-0
Bahamas-Bermuda 0-1
Bermuda-Grenada 1-0
Grenada-Bermuda 1-0
Bahamas-Grenada 3-0
Grenada-Bahamas 0-1
St.Lucia-Bermuda 2-0
...og altså Bermuda-St.Lucia 3-1

Forskjellen mellom disse er de innbyrdes oppgjørene mellom Bermuda og Bahamas. I det første eksempelet vant de en kamp hver, hvor Bermuda vant på målforskjell 2-1 i innbyrdes. I det andre eksempelet vant Bermuda begge kampene, og var dermed overlegen på innbyrdes.


-----------------------------------------------------------------------------------------

C
____
Eksempelet over viser at St.Lucia vant 2-0 i sin kamp.

Dette kan også utledes:

Siden den siste kampen må ha endt 3-1, var St.Lucias tabellinje før siste kamp som følger:

St Lucia 5 1 0 4 2 - 4 3

Fire tap og bare fire baklengs gir fire kamper med 0-1 i tap. Da gjenstår bare:

St Lucia 1 1 0 0 2 - 0 3

Altså 2-0 i den vunnede kampen. St.Lucias resultater er 0-1, 0-1, 0-1, 0-1, 2-0 og til slutt 1-3.


I eksemplene over var det Bermuda de slo 2-0. Men det finnes mange alternative kampforløp her. Ett av dem er dette:

Grenada-St.Lucia 1-0
St.Lucia-Grenada 2-0
Bahamas-St.Lucia 1-0
St.Lucia-Bahamas 0-1
Bermuda-Bahamas 2-1
Bahamas-Bermuda 0-1
Bermuda-Grenada 0-1
Grenada-Bermuda 1-0
Bahamas-Grenada 2-0
Grenada-Bahamas 0-1
St.Lucia-Bermuda 0-1
Bermuda-St.Lucia 3-1

Her har St.Lucia slått Grenada 2-0. Altså kan vi ikke ut fra tabellen se hvilket lag det var St.Lucia slo. Men at de vant 2-0, det vet vi.

Truls sa...

Jeg må få lov til å legge til at St.Lucia har elendige straffeskyttere... 0 mål i straffekonken..?

Jeg tør ikke engang tenke på hva som hadde skjedd med dem om de hadde vært fra Colombia.

Tølper sa...

A. Så vidt jeg kan se, holder det om det laget som ikke vant den første kampen, vinner den andre, og med samme målforskjell. Chelsea og CSKA står da med 3 poeng hver. Når Rosenborg og Benfica spiller mot hverandre, kan de dele poengene 6-0, 4-1, 3-3 eller 2-2 mellom seg. Hvis det blir 6-0, har C og C et lag foran seg og et lag bak seg på tabellen, og har fremdeles omtrent 50% sjanse hver for å gå videre. Hvis det blir 3-3, står enten alle likt, eller så har C og C et lag foran seg og et lag bak seg. I begge tilfeller, skulle sannsynligheten fremdeles være rundt 50%. Hvis derimot B og R spiller en eller to kamper uavgjort (noe som skjer med positiv sannsynlighet, siden vi antar at B og R ikke samarbeider), ligger C og C begge bedre an enn midt på treet, og begge har mer enn 50% sannsynlighet for å gå videre. Så hvis C og C vinner en kamp hver, så vil de etter at B og R har spilt sine kamper, enten ha 50% sjanse for å gå videre, eller mer enn 50% sjanse. Før B og R har spilt sine kamper, er sjansen derfor mer enn 50%

Det er jo også en mulighet for at den første kampen ble uavgjort - det står det ikke noe om i oppgaven, men det ville i så fall være dumt av dem. I så fall bør de spille uavgjort om igjen. Men siden det står i oppgaven at Roman faktisk greier å heve sjansen til over 50%, regner jeg med at den første kampen ikke endte uavgjort.

B. Bermuda ledet med ett mål, men trengte to for å matche Bahamas målforskjell. De skåret et selvmål, siden de anså sannsynligheten for å vinne med minst to mål i straffesparkkonkurransen for å være større en sannsynligheten for å skåre i løpet av overtida. I straffesparkkonkurransen vant de faktisk med to mål, og fikk samme målforskjell som Bahamas, men med flere skårede mål.

Nå er det ikke godt å si hva som ville skjedd om Bermuda hadde klart å skåre i ordinær tid før de ga opp. Da ville kampen endt 2-0, og Bermuda og Bahamas ville hatt samme poengsum og samme målforskjell (6-3). Siden Bermuda prøvde så hardt å skåre, kan vi regne med at Bermuda lå like godt eller bedre an enn Bahamas i de innbyrdes oppgjørene, sånn at en skåring ville betydd første plass, eventuelt delt.

C. I kampen mot Bermuda fikk St Lucia minst ett mål (selvmålet). Siden de tapte med to mål, må Bermuda ha skåret minst tre mål. Siden St Lucia totalt slapp inn sju mål, og tapte ytterligere fire kamper, kan ikke Bermuda ha skåret mer enn tre mål totalt, så resultatet må ha vært 3-1. Den resterende målforskjellen til St Lucia er 2-4. De fire andre kampene St Lucia tapte, må derfor ha endt 1-0, så kampen St Lucia vant, har de vunnet 2-0.

Anonym sa...

Hmm.. litt forvirrende.

Det er andre ting som tar tid her, men trodde B) var løst før du kom med tilleggsopplysningene...

bermuda lå bak på målforskjell da de scoret selvmålet, ikke antall scorende mål.

Kan dette være riktig...?

Anonym sa...

Jeg gleder meg til matematikkuka er over, og gamle gode Eskil er tilbake.

Esquil sa...

ey! jeg er ikke gammel!

Trine sa...

Og så kommer det vi skal dyppe fisken i...

A: Jeg tipper at Chelsea vinner på bortebane, og at Chelsea og CSKA har lik målforskjell etter de to kampene. Da har begge lagene sikret seg 3 poeng og har scoret sine mål på bortebane.

B og C: Ut fra tabellen ser vi at Bahamas hadde en målforskjell på 3 etter å ha spilt ferdig sine kamper. Det eneste Bermuda kan ha vunnet på å score et selvmål er et uavgjort resultat som ga mulighet for bedret målforskjell etter straffespark. Inntil kampen nesten var over håpet de å klare dette ved å score mot St. Lucia. Et baklengsmål i sluttminuttene gir kun mening hvis de allerede ledet med 1 mål. De prøvde altså primært å vinne med 2 mål. Dette gir at de i utgangspunktet hadde en målforskjell på 1. Siden Bermuda slår St. Lucia i dette siste oppgjøret, må de ha hatt 3 seiere og 2 tap før siste kamp. De må altså minst ha scoret 3 mål og sluppet inn 2. Både 3-2 og 4-3 er så langt mulige målforskjeller før det siste oppgjøret.

Men, St. Lucia har tilsammen 7 baklengsmål og 5 tap, og kan derfor ikke ha fått mer enn 3 baklengsmål i løpet av en kamp.
For at Bermuda skal komme opp i 7 scoringer totalt må de altså ha scoret 4 mål før siste kamp. Bermuda må altså ha hatt en målforskjell på 4-3 før den siste kampen og resultatet av denne kampen ble først 1-1 og så 3-1 etter straffespark.

Ut fra tabellen ser vi da at St. Lucia har fått 4 baklengsmål i de fire andre kampene de tapte, altså har samtlige av disse endt 0-1.

Resultatet i kampen St. Lucia vant må altså ha vært 2-0.

Esquil sa...

første anonym, ja det tror jeg stemmer, men har du løst oppgaven før den opplysningen ser jeg for meg at jeg er raus med poengene. Jeg har litt dårlig samvittighet for vinglingen.

Sander sa...

A:
De to lagene er tjent med å dele likt mellom seg, både poeng og målforskjell.
Skal de få noe fortrinn, kan ikke kampene ende uavgjort, for da deles det ut færre poeng.
Siden Roman fikk det som han ville, vant det ene laget den første kampen.
Jeg tipper at den andre endte med motstatt resultat av den første.

B:
Ingen er tjent med dårligere målforskjell i seg selv, så selvmålet må ha endret utfallet av kampen ved spilleslutt. Siden Bermuda hadde dårligere målforskjell enn Bahamas før selvmålet, må hensikten ha vært å utligne sin egen ledelse til uavgjort, og gamble på å bedre målforskjellen sin etter straffekonk. De klarte å få lik målforskjell som Bahamas, og må da ha tatt igjen (minst) to mål på straffene. Som det opplyses, vant de på innbyrdes oppgjør mot Bahamas.

C:
St Lucia må ha sluppet inn 3 mål mot Bermuda i den siste kampen. Ikke færre, som vist i B, og ikke flere, fordi de har sluppet inn 7 mål på 5 tap. Dermed må alle de øvrige tapene til St Lucia ha endt 0-1. De må også ha tapt med 2 mål mot Bermuda som vist i B.
Den siste kampen endte Bahamas - St Lucia 3-1.

Den kampen St Lucia vant må ut fra resterende målforskjell ha endt 2-0.

beamer sa...

A)
Jeg tror resultatet av kamp 2 blir det samme som i kamp 1, men med motsatt vinner. Dermed har begge lagene sikret seg 3 poeng av 6 mulige. Noe som er ett bedre utgangspunkt enn to poeng hver, slik det ville ha blitt om de hadde spilt uavgjort begge kampene.

Begge lagene har i tillegg scoret (og sluppet inn) mange mål, for å styrke lagets posisjon dersom det blir en jevn gruppe.

Slik har begge Romans lag et bedre utgangspunkt når de skal møte resten av gruppen.


B)
Etter tilleggsopplysningene har jeg kommet frem til følgende:
Selv om Bermuda ledet siste kampen lå de bak Bahamas på målforskjell. Bermuda tok på slutten en sjanse på at de ville utklasse St Lucia med nødvendig målforskjell i straffekonkurransen, slik at de både vant kampen og forbedret sin målforskjell.

Derfor slapp de inn et mål slik at resultatet ble uavgjort etter ordinær tid. I straffekonkurransen klarte Bermuda å slå St Lucia med nødvendig målforskjell.
---
Etter litt nærmere tabellgransking tror jeg resultatet noen minutter før slutt var 1-0 til Bermuda, og ble 3-1 til Bermuda etter straffekonkurransen. (Resonnement fortsetter under oppgave C.)

Tabell etter straffekonk:
Bermuda 6 4 0 2 7 - 4 12
Bahamas 6 4 0 2 6 - 3 12
Grenada 6 3 0 3 3 - 5 9
St Lucia 6 1 0 5 3 - 7 3

Tabell før selvmål:
Bahamas 6 4 0 2 6 - 3 12
Bermuda 6 4 0 2 5 - 2 12
Grenada
St Lucia

C)
Resultatet i kampen som St Lucia vant ble 2-0.

St Lucia har tapt 5 kamper og vunnet 1. De har scoret 3 mål og sluppet inn 7.

I 4 av tapskampene tapte de med 0-1. I kampen mot Bermuda slapp de inn 3 mål. De kan ikke ha scoret i andre kamper enn den mot Bermuda og den kampen de vant. I og med målforskjellen i kampen mot Bermuda må være minst -2, finner jeg at det eneste mulige kampresultatet i tapet mot Bermuda ble 1-3. Da viser tabellen at de scoret 2 mål i den kampen de vant. Og de slapp ikke inn mål i den kampen.

Tor sa...

A: Du sier at begge lagene skal ha over 50 prosent sjanse til å vinne. Innviklet som jeg er tenker jeg at de derfor må ha flest mulig poeng. Og flest poeng får de hvis de taper en kamp og vinner en kamp hver. Da får de tre poeng hver. Hvis de spiller begge uavgjort får de bare to poeng. Immidlertid forventer du at vi skal vite hva som er resultatet på en spesifik kamp uten at vi får vite resultatet på den andre. Noe som jo må bety at resultatet av en eller annen grunn er det samme på begge kampene. Min konklusjon blir derfor, selvom jeg ikke vet helt hvorfor: at de spiller uavgjort.

B: Kanskje fordi selvmål ikke teller positivt på poengsummen, men likevel teller som scoret mål - og at de på den måten kom likt med Bahamas på målforskjell og vant på antall scorede mål. Kommer ikke på noe bedre :/

C: Det ble 1 - 0. St. Lucias resultater er nødt til å være 1 - 0 som seier. Og 1 - 2, 1 - 2, 0 - 1, 0 - 1 og 0 - 1. Det finnes ingen annen måte de kan få 3 scoringer og 7 "innslipp" og fortsatt få 1 seier og 5 tap.

Paul E. sa...

Dette blir veldig fort ettersom ølet var godt i kveld.

CSKA og Chelsea bør vinne hver sin kamp. Den andre kampen vinnes altså av laget som tapte den første. Dette fordi 3 poeng til hver er mer enn hva man kan forvente.

Bermuda leda med 1 mål. Dette var ikke nok til å vinne turneringa, så de satsa på å vinne straffekonken med minst 2 i stedet da dette vil gi turneringsseier på målforskjell. Dette lyktes de med. St. Lucia vant 1-0 i sin kamp. Mulig jeg snart kan utdype dette.

beamer sa...

...og så frista det virkelig med litt bonus... Så jeg prøver igjen ;-)

Etter hva jeg kan finne ut er det 2 mulige resultatkombinasjoner for alle lagenes kamper i puljen, gitt forutsetningene som ligger i oppgaven og min besvarelse.

Alt 1:

Grenada spilte i sine kamper:

1-0
1-0
1-0
0-3
0-1
0-1

Bahamas spilte i sine kamper:

3-0
1-0
1-0
1-0
0-2
0-1

St. Lucia spilte i sine kamper:

2-0
1-3
0-1
0-1
0-1
0-1

Bermuda spilte i sine kamper:

3-1
2-0
1-0
1-0
0-2
0-1

----

Eller, alt 2:

Grenada spilte i sine kamper:

1-0
1-0
1-0
0-2
0-2
0-1

Bahamas spilte i sine kamper:

2-0
2-0
1-0
1-0
0-2
0-1

St. Lucia spilte i sine kamper:

2-0
1-3
0-1
0-1
0-1
0-1

Bermuda spilte i sine kamper:

3-1
2-0
1-0
1-0
0-2
0-1

Paul E. sa...

Ajaj. 2-0 til St Lucia. Er det noe jeg angrer på er det at jeg ikke satte av mer tid til de mest interessante oppgavene.